Дана квадратичная функция y = x² - 4x - 5. 15.1 Найдите координаты вершины параболы. 15.2 Запишите уравнение оси симметрии параболы. 15.3 Найдите множество значений функции. 15.4 Найдите точки пересечения с осями координат. 15.5 Постройте график функции.

Разберем данную квадратичную функцию y = x² - 4x - 5 по пунктам.

1. 15.1 Найдите координаты вершины параболы.

   Для нахождения координат вершины параболы (x_v, y_v) используем формулы:

   $$x_v = -\frac{b}{2a}$$

   $$y_v = f(x_v)$$, где f(x) - наша функция.

   В нашем случае a = 1, b = -4, c = -5.

   Тогда:

   $$x_v = -\frac{-4}{2*1} = \frac{4}{2} = 2$$

   $$y_v = (2)^2 - 4*(2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$$

   Ответ: Координаты вершины параболы: (2, -9).

2. 15.2 Запишите уравнение оси симметрии параболы.

   Ось симметрии параболы - это вертикальная линия, проходящая через вершину параболы. Ее уравнение имеет вид x = x_v.

   Поскольку x_v = 2, то уравнение оси симметрии:

   Ответ: x = 2.

3. 15.3 Найдите множество значений функции.

   Так как коэффициент при x² (a = 1) положительный, парабола направлена вверх. Это означает, что вершина параболы является ее минимальной точкой.

   Множество значений функции - это все значения y, которые функция может принимать. В нашем случае это все y, начиная с y_v = -9 и до +∞.

   Ответ: Множество значений функции: [-9, +∞).

4. 15.4 Найдите точки пересечения с осями координат.

   • Пересечение с осью Oy:

     Чтобы найти точку пересечения с осью Oy, нужно подставить x = 0 в уравнение функции:

     y = (0)² - 4*(0) - 5 = -5

     Точка пересечения с осью Oy: (0, -5).

   • Пересечение с осью Ox:

     Чтобы найти точки пересечения с осью Ox, нужно решить квадратное уравнение x² - 4x - 5 = 0.

     Можно воспользоваться теоремой Виета или дискриминантом.

     Дискриминант: D = b² - 4ac = (-4)² - 4*1*(-5) = 16 + 20 = 36

     $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

     $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

     Точки пересечения с осью Ox: (5, 0) и (-1, 0).

   Ответ: Точки пересечения с осями координат: (0, -5), (5, 0), (-1, 0).

5. 15.5 Постройте график функции.

   Теперь у нас есть достаточно информации для построения графика параболы:

   • Вершина: (2, -9)
   • Ось симметрии: x = 2
   • Пересечение с осью Oy: (0, -5)
   • Пересечение с осью Ox: (5, 0) и (-1, 0)