Дана окружность с центром в точке О. Из конца диаметра АВ проведена хорда ВС. Докажите, что \(\angle AOC\) в два раза больше \(\angle ABC\).

Решение:

Рассмотрим \(\triangle OBC\). Так как \(OB = OC\) (радиусы окружности), то \(\triangle OBC\) — равнобедренный.

1. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \(\angle OBC = \angle OCB\).
2. \(\angle ABC\) — это тот же угол \(\angle OBC\).
3. \(\angle AOC\) — внешний угол \(\triangle OBC\) при вершине \(O\).
4. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: \(\angle AOC = \angle OBC + \angle OCB\).
5. Так как \(\angle OBC = \angle OCB\), то \(\angle AOC = 2 \cdot \angle OBC\).
6. Следовательно, \(\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC\).

Что и требовалось доказать.