Из концов диаметра АВ проведены равные хорды АС и BD по одну сторону от диаметра. Докажите, что AD = BC.

Решение:

Рассмотрим треугольники \(\triangle ACB\) и \(\triangle ADB\).

1. \(AC = BD\) (по условию).
2. \(AB\) — общий катет для обоих прямоугольных треугольников (так как опираются на диаметр, то вписанные углы \(\angle ACB\) и \(\angle ADB\) равны 90 градусов).
3. По теореме Пифагора: \(BC^2 = AB^2 - AC^2\) и \(AD^2 = AB^2 - BD^2\).
4. Так как \(AC = BD\), то \(AC^2 = BD^2\).
5. Следовательно, \(BC^2 = AD^2\), а значит, \(BC = AD\).

Что и требовалось доказать.