Дана правильная четырехугольная усеченная пирамида $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ со сторонами оснований, равными 6 и 4, а ребро этой пирамиды равно $$\sqrt{37}$$. Найдите площадь полной поверхности данной пирамиды.

Для решения этой задачи нам понадобится вспомнить формулы для площади квадрата и площади трапеции, а также теорему Пифагора.

1. Площади оснований:

Основаниями усеченной пирамиды являются два квадрата. Найдем их площади:

Площадь нижнего основания (квадрата $$ABCD$$) со стороной 6:

$$S_{ABCD} = 6^2 = 36$$

Площадь верхнего основания (квадрата $$A_1B_1C_1D_1$$) со стороной 4:

$$S_{A_1B_1C_1D_1} = 4^2 = 16$$

2. Площадь боковой поверхности:

Боковая поверхность состоит из 4-х равнобедренных трапеций. Найдем площадь одной трапеции, а затем умножим на 4.

Пусть $$AA_1 = \sqrt{37}$$ - боковое ребро, $$A_1D_1 = 4$$ и $$AD = 6$$. Проведем высоту из вершины $$A_1$$ на основание $$AD$$. Обозначим основание высоты точкой $$H$$. Тогда $$A_1H$$ - высота трапеции.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AA_1H$$. Сначала найдем длину $$AH$$:

$$AH = \frac{AD - A_1D_1}{2} = \frac{6 - 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

Теперь, по теореме Пифагора, найдем высоту $$A_1H$$:

$$A_1H = \sqrt{AA_1^2 - AH^2} = \sqrt{(\sqrt{37})^2 - 1^2} = \sqrt{37 - 1} = \sqrt{36} = 6$$

Теперь можно найти площадь одной трапеции:

$$S_{трапеции} = \frac{AD + A_1D_1}{2} \cdot A_1H = \frac{6 + 4}{2} \cdot 6 = \frac{10}{2} \cdot 6 = 5 \cdot 6 = 30$$

Площадь всей боковой поверхности:

$$S_{бок} = 4 \cdot S_{трапеции} = 4 \cdot 30 = 120$$

3. Площадь полной поверхности:

Площадь полной поверхности усеченной пирамиды равна сумме площадей двух оснований и боковой поверхности:

$$S_{полн} = S_{ABCD} + S_{A_1B_1C_1D_1} + S_{бок} = 36 + 16 + 120 = 172$$

Ответ: 172