Дана правильная шестиугольная призма. Известно, что $$O$$ и $$O_1$$ – центры окружностей, описанных около оснований. $$|AF| = 4$$; $$S_{BB_1D_1D} = 10$$. Найди $$|AO_1|$$. (Ответ округли до сотых.)

Рассмотрим правильную шестиугольную призму $$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$$.

1. Найдём высоту призмы $$BB_1$$.

Площадь боковой грани $$BB_1D_1D$$ равна $$S_{BB_1D_1D} = BB_1 cdot BD$$.

В правильном шестиугольнике $$BD = 2 cdot AF = 2 cdot 4 = 8$$.

Тогда, $$BB_1 = \frac{S_{BB_1D_1D}}{BD} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1.25$$.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOO_1$$.

$$AO = AF = 4$$ (радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен стороне шестиугольника).

$$OO_1 = BB_1 = 1.25$$.

По теореме Пифагора, $$AO_1 = \sqrt{AO^2 + OO_1^2} = \sqrt{4^2 + 1.25^2} = \sqrt{16 + 1.5625} = \sqrt{17.5625} \approx 4.19$$

Ответ: 4.19