Дана правильная 4-угольная пирамида со стороной основания 6 см и боковым ребром 10 см. Необходимо заполнить таблицу, найдя высоту пирамиды, площадь полной поверхности и объем.

Давайте решим эту задачу по шагам. **1. Находим высоту пирамиды:** * Основание пирамиды – квадрат со стороной 6 см. Центр квадрата (проекция вершины пирамиды) находится на пересечении его диагоналей. * Расстояние от центра квадрата до вершины (половина диагонали) можно найти по теореме Пифагора: $$d = sqrt{6^2 + 6^2} = sqrt{72} = 6sqrt{2}$$. Тогда половина диагонали равна $$r = rac{6sqrt{2}}{2} = 3sqrt{2}$$ см. * Высоту пирамиды ($$h$$) можно найти, используя боковое ребро ($$l = 10$$ см) и расстояние от центра основания до вершины основания ($$r = 3sqrt{2}$$ см) по теореме Пифагора: $$h = sqrt{l^2 - r^2} = sqrt{10^2 - (3sqrt{2})^2} = sqrt{100 - 18} = sqrt{82}$$ см. **2. Находим площадь полной поверхности:** * Площадь основания ($$S_{осн}$$) – это площадь квадрата: $$S_{осн} = 6^2 = 36$$ см$$^2$$. * Боковая поверхность состоит из 4 одинаковых треугольников. Найдем апофему (высоту боковой грани) $$a$$. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой, половиной стороны основания и высотой пирамиды. Сначала найдем апофему, используя теорему Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник, где гипотенуза - это боковое ребро грани, а катеты - половина основания (3 см) и апофема. Апофему найдем по теореме Пифагора: Пусть $$a$$ - апофема. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой, половиной стороны основания (3см), и высотой боковой грани. Тогда апофема $$a = sqrt{10^2 - 3^2} = sqrt{91}$$ Высота боковой грани (апофема) находится как: $$sqrt{10^2 - 3^2}=sqrt{91}$$ *Площадь боковой поверхности:* $$S_{бок} = rac{1}{2} * Периметр основания * апофему$$. Периметр основания $$P = 4 * 6 = 24$$ см. $$S_{бок} = rac{1}{2} * 24 * sqrt{91} = 12sqrt{91}$$ см$$^2$$. *Площадь полной поверхности:* $$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 36 + 12sqrt{91}$$ см$$^2$$. **3. Находим объем пирамиды:** * Объем пирамиды ($$V$$) вычисляется по формуле: $$V = rac{1}{3} * S_{осн} * h = rac{1}{3} * 36 * sqrt{82} = 12sqrt{82}$$ см$$^3$$. **Ответ:** * Высота: $$\sqrt{82}$$ см. * Площадь полной поверхности: $$36 + 12\sqrt{91}$$ см$$^2$$. * Объем: $$12\sqrt{82}$$ см$$^3$$. Заполненная таблица: | Параметр | Значение | | ------------------------- | --------------------- | | Сторона основания | 6 см | | Боковое ребро | 10 см | | Высота | $$\sqrt{82}$$ см | | Площадь полной поверхности | $$36+12\sqrt{91}$$ см$$^2$$ | | Объём | $$12\sqrt{82}$$ см$$^3$$ |