19.5 Дана прямая и две точки А и В по одну сторону от неё (рис. 19.45). Может ли на этой прямой быть больше одной точки М такой, что AM = BМ?

Нет, на прямой может быть только одна такая точка M, что AM = BM. Это будет середина отрезка, соединяющего точки A' и B, где A' - точка, симметричная точке A относительно данной прямой. Предположим, что есть две точки M1 и M2 на прямой такие, что AM1 = BM1 и AM2 = BM2. Тогда точки A, B, M1 и M2 лежат на одной окружности, центр которой находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам AB и M1M2. Однако, серединный перпендикуляр к отрезку M1M2 является данной прямой, а это противоречит условию, что A и B лежат по одну сторону от прямой.