Дана прямоугольная трапеция ABCD (∠A = ∠B = 90°), в которую вписана окружность радиусом 7см. Сторона CD равна 18 см. Найти среднюю линию трапеции.

Пусть ABCD - данная прямоугольная трапеция, где AB и CD - основания, AD и BC - боковые стороны, причем AD перпендикулярна AB и CD (то есть, AD - высота). Так как в трапецию вписана окружность, то сумма ее оснований равна сумме боковых сторон: $$AB + CD = AD + BC$$.

Нам дано, что радиус вписанной окружности равен 7 см. Значит, высота трапеции (AD) равна двум радиусам, то есть $$AD = 2 * 7 = 14$$ см.

Также известно, что сторона CD = 18 см.

Теперь нужно найти BC. Проведем высоту CE из вершины C к основанию AB. Получим прямоугольный треугольник BCE, в котором $$CE = AD = 14$$ см, и $$BE = AB - CD$$. Также $$BC = 18$$.

По теореме Пифагора для треугольника BCE: $$BC^2 = BE^2 + CE^2$$.

Подставим известные значения: $$18^2 = BE^2 + 14^2$$.

Отсюда $$324 = BE^2 + 196$$, значит, $$BE^2 = 324 - 196 = 128$$, и $$BE = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}$$.

В прямоугольной трапеции, описанной вокруг окружности, выполняется условие: $$AB + CD = AD + BC$$. Из этого следует, что полусумма оснований трапеции (то есть средняя линия) равна полусумме боковых сторон.

Средняя линия трапеции равна: $$\frac{AB + CD}{2} = \frac{AD + BC}{2} = \frac{14 + 18}{2} = \frac{32}{2} = 16$$

Но мы знаем, что $$CD=18$$. Чтобы найти среднюю линию, нам нужно найти AB. Так как в трапецию вписана окружность, то $$AD + BC = AB + CD$$. Мы знаем, что $$AD = 14$$ и $$CD=18$$, поэтому $$14 + BC = AB + 18$$, следовательно, $$AB = BC - 4$$.

Заметим, что допущена ошибка в рассуждениях. В прямоугольной трапеции, описанной около окружности, сумма оснований равна сумме боковых сторон: $$AB + CD = AD + BC$$. Высота $$AD$$ равна двум радиусам, то есть $$AD = 2 * 7 = 14$$. Сторона $$CD$$ равна 18.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $$\frac{AB + CD}{2}$$. Нужно найти $$AB$$.

Поскольку в трапецию вписана окружность, то $$AB + CD = AD + BC$$. Отсюда $$AB = AD + BC - CD$$. Из прямоугольного треугольника, проведенного из вершины $$C$$ на основание $$AB$$, имеем: $$(AB - CD)^2 + AD^2 = BC^2$$. То есть, $$(AB - 18)^2 + 14^2 = BC^2$$.

Но ранее было установлено, что $$AB = AD + BC - CD$$, то есть $$AB = 14 + BC - 18$$, или $$AB = BC - 4$$. Подставим это в предыдущее уравнение: $$(BC - 4 - 18)^2 + 14^2 = BC^2$$, то есть $$(BC - 22)^2 + 196 = BC^2$$.

Раскрываем скобки: $$BC^2 - 44BC + 484 + 196 = BC^2$$. Тогда $$-44BC + 680 = 0$$, то есть $$44BC = 680$$, и $$BC = \frac{680}{44} = \frac{170}{11}$$.

Теперь найдем $$AB: AB = BC - 4 = \frac{170}{11} - \frac{44}{11} = \frac{126}{11}$$.

Средняя линия трапеции равна: $$\frac{AB + CD}{2} = \frac{\frac{126}{11} + 18}{2} = \frac{\frac{126 + 198}{11}}{2} = \frac{\frac{324}{11}}{2} = \frac{324}{22} = \frac{162}{11}$$.

Ответ: Средняя линия трапеции равна $$\frac{162}{11}$$ см.