Дана прямоугольная трапеция ABCD, в которой \( \angle A = \angle D = 90^{\circ} \), \( AB \parallel DC \), \( AB = 5 \) см, \( \angle C = \angle BDA = 45^{\circ} \). Найдите \( S_{ABCD} \).

Решение:

Так как \( \angle A = \angle D = 90^{\circ} \) и \( AB \parallel DC \), ABCD — прямоугольная трапеция.

Проведем высоту BH из вершины B к основанию DC. Тогда ABHD — прямоугольник, и \( DH = AB = 5 \) см, \( BH = AB = 5 \) см.

В прямоугольном треугольнике BHC: \( \angle C = 45^{\circ} \), значит, \( \angle HBC = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \). Следовательно, треугольник BHC — равнобедренный, и \( HC = BH = 5 \) см.

Теперь найдем длину основания DC:

\( DC = DH + HC = 5 + 5 = 10 \) см.

Площадь трапеции ABCD равна:

\( S_{ABCD} = \frac{AB + DC}{2} \cdot BH \)

\( S_{ABCD} = \frac{5 + 10}{2} \cdot 5 = \frac{15}{2} \cdot 5 = 7.5 \cdot 5 = 37.5 \) см².

Ответ: 37.5 см².