Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC, AB = CD, диагональ AC перпендикулярна стороне CD, угол BAC равен углу DAC. Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника ACD равна 6 см².

Привет, ребята! Давайте решим эту интересную задачу по геометрии. **1. Анализ условия:** У нас есть трапеция ABCD, где основания AD и BC. Известно, что боковые стороны AB и CD равны, диагональ AC перпендикулярна CD, и угол BAC равен углу DAC. Нам нужно найти площадь трапеции, зная площадь треугольника ACD. **2. Рисунок и обозначения:** Нарисуем трапецию ABCD и отметим все известные данные. **3. Решение:** * **Рассмотрим треугольник ADC.** Так как AC перпендикулярна CD, то треугольник ADC - прямоугольный. Его площадь равна половине произведения катетов, то есть: \[S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CD = 6 \text{ см}^2\] * **Рассмотрим треугольники ABC и ADC.** Угол BAC равен углу DAC, а AB = CD. Сторона AC – общая. Следовательно, треугольники ABC и ADC равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). * **Вывод о равенстве площадей.** Так как треугольники ABC и ADC равны, то их площади равны: \[S_{ABC} = S_{ADC} = 6 \text{ см}^2\] * **Рассмотрим треугольник ABC.** Так как треугольники ABC и ADC равны, BC = AD. Это означает, что трапеция ABCD равнобедренная. Так как угол BAC равен углу DAC, то AC - биссектриса угла BAD. Так как AB = CD и AC перпендикулярна CD, то угол ACD = 90 градусов. Значит, треугольник ABC также прямоугольный и площадь этого треугольника можно найти как 1/2 * AC * CD = 6 см2. * **Вывод:** Так как трапеция равнобедренная, то площадь трапеции равна сумме площадей треугольников ADC и ABC. \[S_{ABCD} = S_{ADC} + S_{ABC}\] \[S_{ABCD} = 6 \text{ см}^2 + 6 \text{ см}^2 = 12 \text{ см}^2\] **4. Ответ:** Площадь трапеции ABCD равна 12 см². **Развёрнутый ответ для школьника:** Представь себе трапецию, у которой боковые стороны одинаковые, и одна из диагоналей образует прямой угол с боковой стороной. Если разделить трапецию на два треугольника этой диагональю, то оба треугольника будут одинаковыми по размеру. И если тебе известна площадь одного из этих треугольников (например, 6 см²), то для нахождения площади всей трапеции просто сложи площадь этого треугольника с площадью другого такого же треугольника. Получается, что площадь трапеции равна 12 см².