4. Дана треугольная пирамида \(DABC\). Боковые ребра \(DA = DB = DC = 5\), \(AB = AC = 8\), \(BC = 6\). Найдите площадь боковой поверхности.

Так как \(DA = DB = DC\), то вершина \(D\) проецируется в центр окружности, описанной около треугольника \(ABC\). Треугольник \(ABC\) имеет стороны 8, 8 и 6, то есть является равнобедренным. Площадь боковой поверхности равна сумме площадей треугольников \(DAB\), \(DAC\) и \(DBC\). Найдем площадь каждого треугольника. Рассмотрим треугольники \(DAB\) и \(DAC\). Они равны по трем сторонам. Пусть высота \(DH\) падает на сторону \(AB\). Тогда \(AH = \frac{1}{2} AB = 4\). По теореме Пифагора из треугольника \(DAH\): \(DH = \sqrt{DA^2 - AH^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3\) Тогда площадь треугольников \(DAB\) и \(DAC\) равна: \(S_{DAB} = S_{DAC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot DH = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 = 12\) Для нахождения площади треугольника \(DBC\), найдем высоту \(DK\) к стороне \(BC\). \(BK = \frac{1}{2} BC = 3\). По теореме Пифагора из треугольника \(DBK\): \(DK = \sqrt{DB^2 - BK^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\) Тогда площадь треугольника \(DBC\) равна: \(S_{DBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot DK = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12\) Площадь боковой поверхности равна: \(S_{бок} = S_{DAB} + S_{DAC} + S_{DBC} = 12 + 12 + 12 = 36\) Ответ: 36