Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^{\circ}\), \(\angle B = 30^{\circ}\), \(r=5\). Найти: \(S_{\triangle ABC}\).

Решение:

Пусть (O) — центр вписанной окружности в \(\triangle ABC\), (r) — радиус этой окружности.

1. Так как \(\angle C = 90^{\circ}\) и \(\angle B = 30^{\circ}\), то \(\angle A = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}\).

2. Обозначим стороны треугольника: (BC = a), (AC = b), (AB = c).

3. Используем формулу радиуса вписанной окружности для прямоугольного треугольника:

$$ r = \frac{a + b - c}{2}. $$

В нашем случае (r = 5), следовательно,

$$ 5 = \frac{a + b - c}{2}. $$ $$ 10 = a + b - c. $$

4. Выразим (a) и (b) через (c), используя синус и косинус угла (B):

$$ sin(30^{\circ}) = \frac{AC}{AB} = \frac{b}{c} = \frac{1}{2} \Rightarrow b = \frac{c}{2}. $$ $$ cos(30^{\circ}) = \frac{BC}{AB} = \frac{a}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow a = \frac{c\sqrt{3}}{2}. $$

5. Подставим выражения для (a) и (b) в уравнение (10 = a + b - c):

$$ 10 = \frac{c\sqrt{3}}{2} + \frac{c}{2} - c. $$ $$ 10 = c \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} - 1 \right) = c \left( \frac{\sqrt{3} + 1 - 2}{2} \right). $$ $$ c = \frac{20}{\sqrt{3} - 1}. $$

6. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \((\sqrt{3} + 1)\):

$$ c = \frac{20(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{20(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{20(\sqrt{3} + 1)}{2} = 10(\sqrt{3} + 1). $$

7. Теперь найдем (a) и (b):

$$ b = \frac{c}{2} = \frac{10(\sqrt{3} + 1)}{2} = 5(\sqrt{3} + 1). $$ $$ a = \frac{c\sqrt{3}}{2} = \frac{10(\sqrt{3} + 1)\sqrt{3}}{2} = 5(3 + \sqrt{3}). $$

8. Площадь прямоугольного треугольника (ABC) равна:

$$ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 5(\sqrt{3} + 1) \cdot 5(3 + \sqrt{3}) = \frac{25}{2} (3\sqrt{3} + 3 + 3 + \sqrt{3}) = \frac{25}{2} (4\sqrt{3} + 6) = 25 (2\sqrt{3} + 3). $$

Ответ: (S_{\triangle ABC} = 25(3 + 2\sqrt{3})\).