Решение

Дано: \(\triangle PQR\) прямоугольный, \(\angle P = 90^\circ\), PS = 7,8, RS = 15,6. Нужно найти SQ и PR.

1. Рассмотрим \(\triangle PRS\). Он прямоугольный, т.к. \(PR \perp PQ\). По теореме Пифагора:

$$PR^2 + PS^2 = RS^2$$ $$PR^2 = RS^2 - PS^2$$ $$PR^2 = 15.6^2 - 7.8^2$$ $$PR^2 = 243.36 - 60.84$$ $$PR^2 = 182.52$$ $$PR = \sqrt{182.52} \approx 13.51$$

2. Заметим, что \(PS = \frac{1}{2} RS\), т.е. катет PS равен половине гипотенузы RS. Это означает, что \(\angle PRS = 30^\circ\). Тогда \(\angle RSP = 60^\circ\).

3. Так как \(\angle QRS = 28^\circ\), то \(\angle QSP = 60^\circ - 28^\circ = 32^\circ\).

4. В \(\triangle RSQ\) по теореме синусов имеем:

$$\frac{RS}{\sin \angle RQS} = \frac{SQ}{\sin \angle QRS}$$ $$\frac{15.6}{\sin \angle RQS} = \frac{SQ}{\sin 28^\circ}$$

Найдем \(\angle RQS\). \(\angle RSQ = 180^\circ - 32^\circ = 148^\circ\). Значит,

$$\angle RQS = 180^\circ - \angle QRS - \angle RSQ = 180^\circ - 28^\circ - 148^\circ = 4^\circ$$

$$SQ = \frac{15.6 \cdot \sin 28^\circ}{\sin 4^\circ} \approx \frac{15.6 \cdot 0.469}{0.0698} \approx 104.8$$

5. Найдем PQ. \(\angle PQR = 90^\circ - \angle QRS = 90^\circ - 28^\circ = 62^\circ\).

В \(\triangle PQR\) по теореме синусов имеем:

$$\frac{PR}{\sin \angle PQR} = \frac{PQ}{\sin \angle PRQ}$$ $$\frac{13.51}{\sin 62^\circ} = \frac{PQ}{\sin 28^\circ}$$ $$PQ = \frac{13.51 \cdot \sin 28^\circ}{\sin 62^\circ} \approx \frac{13.51 \cdot 0.469}{0.882} \approx 7.18$$

Тогда SQ = PQ - PS = 7,18 + 7,8 = 14,98

Ответ: \(PQ \approx 7.18\), \(PR \approx 13.51\).