84.2. 1) Дано: ∠DAB+ ∠AEP = 180°, ∠DAC+∠AET = 180° (рис. 224). Докажите, что плоскости АВС и ЕРТ параллельны. 2) Сторона АВ треугольника АВС лежит в плоскости В. Через середину отрезка АС — точку Р проведена плоскость а, параллельная плоскости В и пересекающая ВС в точке Е. Найдите АВ, если РЕ= 7 см.

1) Доказательство:

Так как ∠DAB + ∠AEP = 180°, то прямые AB || EP.

Так как ∠DAC + ∠AET = 180°, то прямые AC || ET.

Поскольку две пересекающиеся прямые (EP и ET) одной плоскости (EPT) соответственно параллельны двум пересекающимся прямым (AB и AC) другой плоскости (ABC), то плоскости ABC и EPT параллельны.

2) Решение:

Так как плоскость α параллельна плоскости β и проходит через середину стороны AC (точку P), то она пересекает сторону BC в точке E, являющейся серединой BC.

Следовательно, PE - средняя линия треугольника ABC.

По свойству средней линии треугольника, PE = 1/2 AB.

Дано, что PE = 7 см, поэтому AB = 2 × 7 = 14 см.

Ответ: AB = 14 см