84.1. 1) Дано: ∠DAB = ∠DMP, ∠DMK = ∠DAC (рис. 223). Докажите, что плоскости МРК И АВС параллельны. 2) Сторона АС треугольника АВС лежит в плоскости а. Через середину ВА - точку М проведена плоскость В, параллельная плоскости а и пересекающая ВС в точке К. Найдите МК, если АС = 10 см.

1) Доказательство:

Так как ∠DAB = ∠DMP и ∠DMK = ∠DAC, то прямые MP || AB и MK || AC.

Поскольку две пересекающиеся прямые (MP и MK) одной плоскости (MPK) соответственно параллельны двум пересекающимся прямым (AB и AC) другой плоскости (ABC), то плоскости MPK и ABC параллельны.

2) Решение:

Так как плоскость β параллельна плоскости α и проходит через середину стороны BA (точку M), то она пересекает сторону BC в точке K, являющейся серединой BC.

Следовательно, MK - средняя линия треугольника ABC.

По свойству средней линии треугольника, MK = 1/2 AC.

Дано, что AC = 10 см, поэтому MK = 1/2 × 10 = 5 см.

Ответ: MK = 5 см