Дано: -AB: -AC=5:3. Найдите L BOC, L ABC.

Решение:

На рисунке изображён круг с центром в точке O. Точки A, B, C лежат на окружности. Известно, что длина дуги AB относится к длине дуги AC как 5:3. Это означает, что центральные углы, опирающиеся на эти дуги, также относятся в том же отношении. Центральный угол равен угловой мере дуги, на которую он опирается.

Пусть \( \angle BOC \) — центральный угол, опирающийся на дугу BC. Угол ABC — вписанный угол, опирающийся на дугу AC.

Сначала найдём угловые меры дуг AB и AC.

Пусть \( \text{дуга} AB = 5x \) и \( \text{дуга} AC = 3x \).

Тогда соответствующие центральные углы:

\( \triangle AOB = 5x \)

\( \triangle AOC = 3x \)

Угол \( \triangle BOC \) является центральным углом, опирающимся на дугу BC. Дуга BC равна сумме дуг BA и AC, если A находится между B и C на дуге, или разности, если B или C находятся между A и другой точкой.

По рисунку, дуга BC, на которую опирается угол BAC, не дана напрямую. Однако, есть информация о соотношении дуг AB и AC.

Из рисунка видно, что угол, обозначенный как 60°, является углом \( \triangle AOC \) или \( \triangle AOB \).

Если предположить, что 60° — это центральный угол \( \triangle AOC \), то \( \triangle AOC = 60^{\circ} \).

Тогда \( 3x = 60^{\circ} \) => \( x = 20^{\circ} \).

Тогда \( \triangle AOB = 5x = 5 \cdot 20^{\circ} = 100^{\circ} \).

Теперь найдём \( \triangle BOC \). Дуга BC может быть найдена, если учесть, что сумма всех дуг вокруг центра окружности равна 360°.

Если A, B, C — точки на окружности, то можно предположить, что дуга BC = дуга AB + дуга AC, если A находится между B и C, или дуга BC = |дуга AB - дуга AC|.

По рисунку, угол BAC опирается на дугу BC. Центральный угол BOC также опирается на дугу BC. Следовательно, \( \triangle BOC = 2 \triangle BAC \).

Если \( \triangle AOC = 60^{\circ} \), то \( \text{дуга} AC = 60^{\circ} \).

Из \( \text{дуга} AB : \text{дуга} AC = 5:3 \) => \( \text{дуга} AB = \frac{5}{3} \text{дуга} AC = \frac{5}{3} \times 60^{\circ} = 100^{\circ} \).

Тогда \( \triangle AOB = 100^{\circ} \).

Центральный угол \( \triangle BOC \) опирается на дугу BC. Дуга BC = \( 360^{\circ} - (\text{дуга} AB + \text{дуга} AC) \) или \( \text{дуга} BC = |\text{дуга} AB - \text{дуга} AC| \) или \( \text{дуга} BC = \text{дуга} AB + \text{дуга} AC \).

По расположению точек на рисунке, угол BAC опирается на дугу, которая является суммой дуг AB и AC, если A лежит на дуге BC. Однако, на рисунке A, B, C образуют треугольник. Дуга, на которую опирается угол ABC, это дуга AC. Дуга, на которую опирается угол BAC, это дуга BC. Дуга, на которую опирается угол ACB, это дуга AB.

Если \( \text{дуга} AC = 60^{\circ} \), то вписанный \( \triangle ABC = \frac{1}{2} \text{дуга} AC = \frac{1}{2} \times 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

Если \( \text{дуга} AB = 100^{\circ} \), то вписанный \( \triangle ACB = \frac{1}{2} \text{дуга} AB = \frac{1}{2} \times 100^{\circ} = 50^{\circ} \).

Сумма углов треугольника \( \triangle BAC + \triangle ABC + \triangle ACB = 180^{\circ} \).

\( \triangle BAC + 30^{\circ} + 50^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \triangle BAC = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ} \).

Центральный угол, опирающийся на дугу BC, равен \( \triangle BOC \).

Дуга BC = \( \triangle BAC \times 2 = 100^{\circ} \times 2 = 200^{\circ} \).

Тогда \( \triangle BOC = 200^{\circ} \).

Проверим: \( \text{дуга} AB + \text{дуга} AC + \text{дуга} BC \) должно быть 360°.

\( 100^{\circ} + 60^{\circ} + 200^{\circ} = 360^{\circ} \). Это верно.

Ответ: igtriangleup BOC = 200^{\(\circ\)}, igtriangleup ABC = 30^{\(\circ\)}.