Дано: ΔABC, H и M — середины сторон AB и BC соответственно. Доказать: HM ∥ AC, HM = 1/2 AC. Отложим на луче HM от точки M отрезок MP, равный отрезку MH. Выполните построение и заполните доказательство.

Построение. Продлим луч HM за точку M и отметим на нём точку P так, чтобы MP = MH.

1. В четырёхугольнике CHBP диагонали CB и HP пересекаются в M. По условию M — середина CB, а по построению — середина HP.

2. Диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, поэтому CHBP — параллелограмм. Следовательно, PC ∥ HB и PC = HB.

3. Так как H — середина AB, то AH = HB. При этом A, H и B лежат на одной прямой, поэтому AH ∥ PC и AH = PC. Значит, AHPC — параллелограмм по признаку: одна пара противоположных сторон равна и параллельна.

Отсюда HP ∥ AC и HP = AC. По построению MP = HM, а H, M, P лежат на одной прямой, причём M между H и P; поэтому HP = HM + MP = 2HM. Следовательно, HM = 1/2 AC.

Итак, HM ∥ AC и HM = 1/2 AC.