Дано: △ABC - прямоугольный, ∠C= 90°, ∠A=30°, AC=10см, CD ⊥ AB, DE ⊥ AC. Найти: AE.

Решение:

1. Рассмотрим △ABC:
   Это прямоугольный треугольник. Нам известны два угла: ∠C = 90° и ∠A = 30°. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому ∠B = 180° - 90° - 30° = 60°.
2. Найдем длину гипотенузы AB:
   В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы. В нашем случае это катет BC. Значит, BC = AC / tg(30°). Но нам дан AC, а не BC.
   Используем другую формулу: AC = AB * cos(∠A).
   \[ 10 = AB \cdot \cos(30^{\circ}) \]
   \[ 10 = AB \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
   \[ AB = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3} \] см.
3. Найдем высоту CD:
   Площадь △ABC можно найти двумя способами:
   1) \( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \)
   2) \( S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD \)
   Сначала найдем BC: BC = AC * tg(30°) = 10 * \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)= \(\frac{10}{\sqrt{3}}\)= \(\frac{10\sqrt{3}}{3}\) см.
   Теперь найдем площадь: \( S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \frac{10\sqrt{3}}{3} = \frac{50\sqrt{3}}{3} \) кв. см.
   Приравниваем площади: \( \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD = S \)
   \[ \frac{1}{2} \cdot \frac{20\sqrt{3}}{3} \cdot CD = \frac{50\sqrt{3}}{3} \]
   \[ \frac{10\sqrt{3}}{3} \cdot CD = \frac{50\sqrt{3}}{3} \]
   \[ CD = \frac{50\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{10\sqrt{3}} = 5 \] см.
4. Рассмотрим △ADE:
   DE ⊥ AC, CD ⊥ AB. ∠A = 30°. △ADE прямоугольный, так как DE ⊥ AC.
5. Найдем AE:
   В прямоугольном треугольнике △ADE:
   \[ AE = AD \cdot \cos(30^{\circ}) \]
   Нам нужно найти AD.
6. Рассмотрим △ADC:
   ∠ACD = 90° - ∠CAD = 90° - 30° = 60°.
   ∠ADC = 90° (по условию CD ⊥ AB).
   ∠CAD = 30°.
   В △ADC: CD = AC * sin(30°), но это неверно, так как CD не противолежит ∠A.
   В △ADC, CD - высота, а AC - катет.
   Рассмотрим △ADC: CD = AD * sin(∠CAD).
   5 = AD * sin(30°)
   5 = AD * 1/2
   AD = 10 см.
7. Вернемся к △ADE:
   AE = AD * cos(30°) = 10 * \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = 5\(\sqrt{3}\) см.

Ответ: 5\(\sqrt{3}\) см.