Дано: ABCD - прямоугольная трапеция; CQ = 7; QD = 3. Найти: MM1.

1. Рассмотрим прямоугольную трапецию ABCD, где BC || AD, AB ⊥ AD.
2. Проведем высоту CQ к основанию AD. Тогда AQ = BC, и QD = AD - AQ = AD - BC.
3. По условию CQ = 7 и QD = 3.
4. Пусть M и M1 - середины боковых сторон AB и CD соответственно.
5. Длина средней линии трапеции MM1 равна полусумме оснований: $$MM_1 = \frac{BC + AD}{2}$$.
6. Выразим AD через BC и QD: AD = BC + QD = BC + 3.
7. Подставим это выражение в формулу средней линии: $$MM_1 = \frac{BC + BC + 3}{2} = \frac{2BC + 3}{2}$$.
8. Рассмотрим прямоугольный треугольник CQD. По теореме Пифагора, $$CD^2 = CQ^2 + QD^2 = 7^2 + 3^2 = 49 + 9 = 58$$. Следовательно, $$CD = \sqrt{58}$$.
9. Из того, что M1 - середина CD, следует, что $$CM_1 = M_1D = \frac{CD}{2} = \frac{\sqrt{58}}{2}$$.
10. Для нахождения BC необходимо дополнительное условие или связь между BC и CD, чего в условии нет. Если предположить, что трапеция равнобедренная, то BC = AQ. Но в данной задаче это не указано, и мы не можем это использовать.
11. Предположим, что необходимо найти только выражение для средней линии через известные величины. Тогда $$MM_1 = \frac{2BC + 3}{2} = BC + 1.5$$. К сожалению, без знания величины BC точное значение MM1 найти невозможно.
12. Предположим, что автор задачи допустил опечатку и вместо "найти MM1" имел ввиду "найти AQ". Так как AQ = BC, и CQ = 7, QD = 3, то можно рассмотреть прямоугольный треугольник CQD, в котором CQ и QD - катеты, а CD - гипотенуза. Тогда по теореме Пифагора CD = √(CQ²+QD²) = √(7²+3²) = √58. Но это не дает нам значение AQ.
13. Если в задаче имелось в виду, что ABCD - прямоугольник (AD = BC), то QD = 0, что противоречит условию QD = 3.
14. Без дополнительной информации о величине BC (или AD) найти точное значение MM1 невозможно. Если предположить, что BC = 0 (вырожденный случай), то $$MM_1 = \frac{3}{2} = 1.5$$.
15. Если предположить, что трапеция ABCD является прямоугольником, то QD должно быть равно 0, но QD = 3. Значит, ABCD не прямоугольник.
16. Если бы трапеция была равнобедренной (боковые стороны равны), то проекция боковой стороны на основание была бы равна QD/2. Но это не указано.
17. Вероятно, в условии задачи пропущено какое-то соотношение между сторонами или углами трапеции, что не позволяет однозначно определить длину средней линии MM1.
18. Поскольку найти MM1 не представляется возможным из-за недостатка данных, ответ оставляем в виде выражения: $$MM_1 = BC + 1.5$$.

К сожалению, без дополнительной информации, найти числовое значение для MM1 не представляется возможным.