6. Дано: АЕ=4 см, ∠OEB=∠OFB=90°, EB=BF. Найдите CF.

Рассмотрим треугольники OEB и OFB. У них:

1. ∠OEB = ∠OFB = 90° (дано)
2. EB = BF (дано)
3. OB - общая сторона

Следовательно, треугольники OEB и OFB равны по двум сторонам и углу между ними (катет и гипотенуза). Из равенства треугольников следует, что OE = OF и ∠EBO = ∠FBO, то есть BO - биссектриса угла B.

Рассмотрим треугольники ABE и CBF. У них:

1. ∠AEB = ∠CFB = 90° (∠OEB=∠OFB=90°)
2. EB = BF (дано)

Так как EB = BF, треугольник EBF - равнобедренный, ∠BEF = ∠BFE. Тогда ∠ABE = 90° - ∠BEF и ∠CBF = 90° - ∠BFE. Следовательно, ∠ABE = ∠CBF.

Треугольники ABE и CBF равны по катету и острому углу (∠AEB = ∠CFB = 90°, EB = BF, ∠ABE = ∠CBF). Тогда AE = CF.

По условию, AE = 4 см, следовательно, CF = 4 см.

Ответ: 4 см