Дано: AM=MB=CN=ND, BK⊥AD, AK=3, BC=7. Найдите MN

Рассмотрим трапецию ABCD. Так как AM = MB и CN = ND, то MN - средняя линия трапеции.

Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований: $$MN = \frac{BC + AD}{2}$$.

Нам известно, что BC = 7. Необходимо найти AD.

Рассмотрим треугольник ABK. Так как BK перпендикулярно AD, то ABK - прямоугольный треугольник.

Так как AM = MB, то MB = AM. Так как AM = MB, то AB = 2AM. Аналогично, CD = 2CN.

Предположим, что AB = CD, то есть трапеция равнобедренная.

Тогда AK = (AD - BC) / 2.

Отсюда, AD = 2AK + BC = 2 × 3 + 7 = 6 + 7 = 13.

Следовательно, $$MN = \frac{7 + 13}{2} = \frac{20}{2} = 10$$.

Ответ: MN = 10.