4. * Дано: \(\angle EPM = 90^\circ\), \(\angle MEP = 30^\circ\), ME = 10 см (рис. 5.90). a) Между какими целыми числами заключена длина отрезка EP? б) Найдите длину медианы PD.

Решение: a) Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle EPM\). 1. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то \(\angle EPM + \angle MEP + \angle EMP = 180^\circ\), откуда \(\angle EMP = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\). 2. Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Следовательно, \(MP = \frac{1}{2}ME = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5\) см. 3. По теореме Пифагора \(EP^2 + MP^2 = ME^2\), следовательно, \(EP^2 = ME^2 - MP^2 = 10^2 - 5^2 = 100 - 25 = 75\), откуда \(EP = \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}\) см. 4. Так как \(\sqrt{3} \approx 1.73\), то \(EP \approx 5 \cdot 1.73 = 8.65\) см. Ответ: Длина отрезка EP заключена между целыми числами 8 и 9. б) Найдем длину медианы PD. Поскольку \(\triangle EPM\) прямоугольный, то медиана PD, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно, \(PD = \frac{1}{2}ME = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5\) см. Ответ: Длина медианы PD равна 5 см.