9. Дано: АО-OC, BO-DO Доказать: △ AOB=△COD. 10. На рисунке АВ=АС, АЕ=АД. Докажите, что BD=CE. 11. На сторонах угла АОВ отложены равные отрезки ОС и OD. Произвольная точка Е биссектрисы этого угла соединена с точками С и Д. Докажите, что ЕС = ED. 12. На сторонах угла CAD отмечены точки В и Е так, что точка В лежит на стороне АС, а точка Е на стороне AD, причем АС = АД и АВ = АЕ. Докажите, что ∠CBD=∠DEC.

Решение: 9. Дано: AO = OC, BO = DO. Доказать: ΔAOB = ΔCOD. Доказательство: 1. Рассмотрим треугольники AOB и COD. 2. AO = OC (по условию). 3. BO = DO (по условию). 4. ∠AOB = ∠COD (как вертикальные углы). Следовательно, ΔAOB = ΔCOD по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). 10. Дано: AB = AC, AE = AD. Доказать: BD = CE. Доказательство: 1. Рассмотрим треугольники ABD и ACE. 2. AB = AC (по условию). 3. AD = AE (по условию). 4. ∠A - общий. Следовательно, ΔABD = ΔACE по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует, что BD = CE (как соответствующие стороны). 11. Дано: OC = OD, E - точка на биссектрисе угла AOB. Доказать: EC = ED. Доказательство: 1. Так как OE - биссектриса угла AOB, то ∠COE = ∠DOE. 2. Рассмотрим треугольники OCE и ODE. 3. OC = OD (по условию). 4. ∠COE = ∠DOE (OE - биссектриса). 5. OE - общая сторона. Следовательно, ΔOCE = ΔODE по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует, что EC = ED (как соответствующие стороны). 12. Дано: AC = AD, AB = AE. Доказать: ∠CBD = ∠DEC. Доказательство: 1. Рассмотрим треугольники ABE и ACD. 2. AB = AE (по условию). 3. AC = AD (по условию). 4. ∠A - общий. Следовательно, ΔABE = ΔACD по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует, что ∠ABE = ∠ACD и BE = CD. Теперь рассмотрим треугольники BCD и DEB. 1. BE = CD (доказано выше). 2. BD - общая сторона. 3. ∠ABD = ∠AEC (так как ∠ABE = ∠ACD). Треугольники BCD и DEB равны, следовательно, ∠CBD = ∠DEC.