2. Дано: АВ = BC; DE = EF; ∠1 = ∠2 (рис. 3.50). Доказать: АВ || DE.

Для доказательства параллельности прямых AB и DE необходимо показать, что внутренние накрест лежащие углы, образованные секущей с этими прямыми, равны. Рассмотрим рисунок 3.50.

Пусть прямая AC - секущая для прямых AB и DE. Нужно доказать, что углы BAC и EDF равны.

Так как AB = BC, то треугольник ABC - равнобедренный с основанием AC. Следовательно, углы при основании AC равны: ∠BAC = ∠BCA.

Аналогично, так как DE = EF, то треугольник DEF - равнобедренный с основанием DF. Следовательно, углы при основании DF равны: ∠EDF = ∠EFD. По условию ∠1 = ∠2, следовательно, ∠EDF = ∠EFD = ∠1 = ∠2.

Таким образом, ∠BAC = ∠BCA = ∠1 = ∠2 = ∠EDF.

Следовательно, ∠BAC = ∠EDF.

Так как углы BAC и EDF равны, то прямые AB и DE параллельны.

Ответ: Доказано, что AB || DE.