Решение:

Для начала найдем угол A:

$$ ∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 75° - 60° = 45° $$

Теперь, по теореме синусов:

$$ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C} $$ $$ \frac{12}{\sin 45°} = \frac{AB}{\sin 75°} $$

Выразим AB:

$$ AB = \frac{12 \cdot \sin 75°}{\sin 45°} $$

Синус 75° можно найти как синус суммы углов: sin(45° + 30°) = sin45°cos30° + cos45°sin30°

$$\sin 75° = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$

Синус 45° равен $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$. Подставим значения синусов в выражение для AB:

$$ AB = \frac{12 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{12 \cdot (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{24(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4\sqrt{2}} = \frac{6(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{\sqrt{2}} = 6(\sqrt{3} + 1) $$

Таким образом, $$AB = 6(\sqrt{3} + 1)$$ см.

Теперь найдем площадь треугольника ABC, используя формулу: S = $$\frac{1}{2}$$ * BC * AB * sinB

$$ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6(\sqrt{3} + 1) \cdot \sin 60° $$ $$ S_{ABC} = 6 \cdot 6(\sqrt{3} + 1) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 36(\sqrt{3} + 1) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 18(\sqrt{3} + 1)\sqrt{3} = 18(3 + \sqrt{3}) $$

Таким образом, площадь треугольника: $$S_{ABC} = 18(3 + \sqrt{3})$$ см².

Ответ: AB = $$6(\sqrt{3} + 1)$$ см, S_ABC = $$18(3 + \sqrt{3})$$ см².