Дано: BC = AD, ∠1 = ∠2, ∠ACD = 42°, ∠ADC = 108°, CD = 6 см. Найти: AB, ∠CAB, ∠ABC

Рассмотрим четырехугольник ABCD. Так как BC = AD и ∠1 = ∠2, то ABCD - равнобедренная трапеция. Значит, AB = CD = 6 см.

∠CAD = ∠ADC - ∠1 = 108° - ∠1. Так как ∠1 = ∠2, то ∠CAD = 108° - ∠2.

В треугольнике ACD: ∠CAD + ∠ACD + ∠ADC = 180°. Значит, ∠CAD = 180° - ∠ACD - ∠ADC = 180° - 42° - 108° = 30°.

Следовательно, ∠1 = ∠2 = ∠ADC - ∠CAD = 108° - 30° = 78°.

∠CAB = ∠1 = 78° (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AC).

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Значит, ∠ABC = ∠BCD. ∠BCD = ∠BCA + ∠ACD.

Рассмотрим треугольник ABC: ∠ABC + ∠BCA + ∠CAB = 180°. Значит, ∠BCA = 180° - ∠ABC - ∠CAB = 180° - ∠ABC - 78°.

∠ABC = ∠BCD = ∠BCA + ∠ACD = (180° - ∠ABC - 78°) + 42° = 222° - ∠ABC. Значит, 2 * ∠ABC = 222°, ∠ABC = 111°.

Ответ: AB = 6 см, ∠CAB = 78°, ∠ABC = 111°.