54* Дано: DABC - правильный тетраэдр, ф – угол между пл. MDK и пл. АВС. Найти: tg2φ. Ответ:

Шаг 1: Определим ключевые точки и линии.

• Пусть DABC - правильный тетраэдр.
• M - середина AB.
• K - середина BC.
• DK и DM – медианы граней тетраэдра.

Шаг 2: Определим угол φ.

Угол φ – это угол между плоскостями MDK и ABC. Для нахождения этого угла, опустим перпендикуляр из точки D на плоскость ABC. Пусть это будет точка H. Тогда DH – высота тетраэдра.

Шаг 3: Найдем тангенс угла φ.

• Рассмотрим треугольник, образованный точками D, H и точкой пересечения плоскостей MDK и ABC (назовем её O).
• Точка O лежит на прямой MK.
• Тогда tg(φ) = DH / OH.

Шаг 4: Выразим DH и OH через известные параметры.

• Пусть сторона тетраэдра равна a.
• Тогда MK = a/2 (средняя линия треугольника ABC).
• Высота тетраэдра DH = a√(2/3).
• OH можно найти, зная, что O лежит на медиане CC' треугольника ABC, где C' - середина AB. Тогда OC' = a√3/2.
• OH будет частью OC'. Поскольку MK параллельна AC, то OH = 1/3 * a√3/2 = a√3/6.

Шаг 5: Найдем tg(φ).

\[ tg(φ) = \frac{DH}{OH} = \frac{a\sqrt{\frac{2}{3}}}{a\frac{\sqrt{3}}{6}} = \frac{\sqrt{\frac{2}{3}}}{\frac{\sqrt{3}}{6}} = \sqrt{\frac{2}{3}} * \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{2}}{3} = 2\sqrt{2} \]

Шаг 6: Найдем tg²(φ).

\[ tg^2(φ) = (2\sqrt{2})^2 = 4 * 2 = 8 \]

Ответ: 8