* Дано: ∠DBC=90°, ∠BDC=60°, BD = 4 см. а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка ВС? б) Найдите длину медианы ВЕ.

Решение:

а) Найдём длину отрезка ВС.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BDC. У нас есть:

• Гипотенуза BD = 4 см.
• Угол \( \angle BDC = 60° \).

В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы. Угол \( \angle BCD = 180° - 90° - 60° = 30° \).

Следовательно, катет BC, противолежащий углу \( \angle BDC = 60° \) (а смежный с углом \( \angle BCD = 30° \)), равен:

\( BC = BD \cdot \sin(\angle BDC) = 4 \cdot \sin(60°) \)

\( \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( BC = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \) см.

Приближённое значение \( \sqrt{3} \approx 1.732 \).

\( BC \approx 2 \cdot 1.732 = 3.464 \) см.

Длина отрезка BC заключена между целыми числами 3 и 4.

Ответ: Длина отрезка ВС заключена между 3 и 4.

б) Найдем длину медианы ВЕ.

Медиана ВЕ в треугольнике BDC проведена к стороне CD. Нам нужно найти длину CD.

В прямоугольном треугольнике BDC:

\( CD = BD \cdot \cos(\angle BDC) = 4 \cdot \cos(60°) \)

\( \cos(60°) = \frac{1}{2} \)

\( CD = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 \) см.

В прямоугольном треугольнике BDC, медиана BE, проведённая из вершины прямого угла (B) к гипотенузе (CD), равна половине гипотенузы. В данном случае, гипотенузой является сторона CD, но это не так. В треугольнике BDC, угол при D равен 60°, угол при C равен 30°, а угол при B равен 90°. Таким образом, CD является гипотенузой.

Медиана BE проведена к стороне CD. BE является медианой, следовательно, E — середина стороны CD. Таким образом, \( CE = ED = \frac{CD}{2} = \frac{2}{2} = 1 \) см.

Рассмотрим треугольник BDE. Мы знаем:

• BD = 4 см
• ED = 1 см
• \( \angle BDE = 60° \)

По теореме косинусов для треугольника BDE:

\( BE^2 = BD^2 + ED^2 - 2 \cdot BD \cdot ED \cdot \cos(\angle BDE) \)

\( BE^2 = 4^2 + 1^2 - 2 \cdot 4 \cdot 1 \cdot \cos(60°) \)

\( BE^2 = 16 + 1 - 2 \cdot 4 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} \)

\( BE^2 = 17 - 4 \)

\( BE^2 = 13 \)

\( BE = \sqrt{13} \) см.

Ответ: а) Длина отрезка ВС заключена между 3 и 4. б) Длина медианы ВЕ равна \( \sqrt{13} \) см.