(100) Дано: DC⊥ (ABC), DC=7, AC = 40, BC = 30. Найти: расстояние от точки D до прямой АВ.

Рассмотрим треугольник ABC. Он прямоугольный, так как $$AC^2 + BC^2 = 40^2 + 30^2 = 1600 + 900 = 2500 = 50^2 = AB^2$$.

Площадь треугольника ABC равна $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 30 = 600$$.

Также, площадь треугольника ABC равна $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h$$, где h - высота, опущенная на сторону AB.

Тогда $$600 = \frac{1}{2} \cdot 50 \cdot h$$, отсюда $$h = \frac{2 \cdot 600}{50} = \frac{1200}{50} = 24$$.

Пусть E - основание перпендикуляра, опущенного из точки D на прямую AB. Так как DC перпендикулярна плоскости ABC, то треугольник DCE - прямоугольный, и DE - искомое расстояние.

Рассмотрим треугольник DCE. Он прямоугольный с катетами DC = 7 и CE = 24. Тогда, по теореме Пифагора, $$DE^2 = DC^2 + CE^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$$, откуда $$DE = \sqrt{625} = 25$$.

Ответ: 25