4. * Дано: ДЕPM = 90°, ZMEP = 30°, ME = 10 см (рис. 5.90). а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка ЕР? б) Найдите длину медианы PD.

Решение:

а) Рассмотрим прямоугольный треугольник MEP, где ∠EPM = 90°, ∠MEP = 30°, ME = 10 см.

1. Найдем EP, используя тангенс угла MEP:

$$tg(30°) = \frac{MP}{EP}$$ $$EP = \frac{MP}{tg(30°)}$$

2. Найдем MP, используя синус угла MEP:

$$sin(30°) = \frac{MP}{ME}$$ $$MP = ME \cdot sin(30°) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \text{ см}$$

3. Теперь найдем EP:

$$EP = \frac{5}{tg(30°)} = \frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{5 \cdot 3}{\sqrt{3}} = \frac{15}{\sqrt{3}} = \frac{15\sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3} \approx 5 \cdot 1.732 = 8.66 \text{ см}$$

Так как 8 < 8.66 < 9, длина отрезка EP заключена между целыми числами 8 и 9.

б) В прямоугольном треугольнике MEP медиана PD, проведенная к гипотенузе ME, равна половине гипотенузы.

1. Найдем длину гипотенузы ME:

$$ME = 10 \text{ см}$$

2. Тогда медиана PD:

$$PD = \frac{ME}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ см}$$

Ответ: a) 8 и 9; б) 5 см