4. * Дано: ДЕРМ = 90°, <MEP = 30°, ME = 10 см (рис. 5.90). а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка ЕР? б) Найдите длину медианы PD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник EPM. Угол ∠EPM = 90°, ∠MEP = 30°, ME = 10 см.

а) Найдем длину отрезка EP. Используем тангенс угла MEP:

$$tg(∠MEP) = \frac{MP}{EP}$$ $$tg(30°) = \frac{MP}{EP}$$

Также, рассмотрим котангенс угла MEP

$$ctg(∠MEP) = \frac{EP}{MP}$$ $$EP = ME * ctg(30°)$$

$$EP = 10 * \sqrt{3} \approx 10 * 1.732 = 17.32$$

Длина отрезка EP приблизительно равна 17.32 см. Следовательно, длина отрезка EP заключена между целыми числами 17 и 18.

б) Найдем длину медианы PD. Сначала найдем длину отрезка MP. Используем тангенс угла MEP:

$$tg(∠MEP) = \frac{MP}{ME}$$ $$tg(30°) = \frac{MP}{10}$$

$$MP = 10 * tg(30°) = 10 * \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{10\sqrt{3}}{3} \approx \frac{10 * 1.732}{3} = \frac{17.32}{3} \approx 5.77$$

Так как PD - медиана прямоугольного треугольника EPM, проведенная к гипотенузе, то она равна половине гипотенузы:

$$PD = \frac{1}{2} * EM$$

$$EM = \frac{1}{2} * \sqrt{EP^2 + MP^2}$$

$$EM = \sqrt{(10)^2 + (\frac{10\sqrt{3}}{3})^2} = \sqrt{100 + \frac{300}{9}} = \sqrt{100 + \frac{100}{3}} = \sqrt{\frac{400}{3}} = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3}$$

$$PD = \frac{1}{2}*EM = \frac{1}{2} * \frac{20\sqrt{3}}{3} = \frac{10\sqrt{3}}{3} = \frac{10*1.732}{3} = \frac{17.32}{3} \approx 5.77$$

Ответ: а) Длина отрезка EP заключена между 17 и 18. б) Длина медианы PD = \(\frac{10\sqrt{3}}{3}\) ≈ 5.77 см.