Дано: ∠EPM = 90°, ∠MEP = 30°, ME = 10 см (рис. 5.90). а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка EP? б) Найдите длину медианы PD.

В треугольнике EPM гипотенуза ME = 10 см, а ∠E = 30°. Значит, катет PM, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы: PM = 5 см. Тогда ∠M = 60°.

а) Катет EP лежит против угла 60°, поэтому EP = 10 · sin 60° = 5√3 см ≈ 8,66 см. Следовательно, его длина заключена между 8 см и 9 см.

б) Точка D — середина гипотенузы EM, поскольку PD — медиана. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы: PD = ME ÷ 2 = 5 см.

Ответ: а) 8 см < EP < 9 см; б) PD = 5 см.