К сожалению, я не могу построить график функции без численных расчетов и визуализации. Однако, я могу предоставить аналитические решения на основе анализа данной функции:

1. Интервалы возрастания и убывания функции:

• Для функции $$f(z) = z^2 + 6z + 8$$ на отрезке $$[-6, -1]$$:
• Производная: $$f'(z) = 2z + 6$$
• При $$f'(z) = 0$$: $$z = -3$$
• Интервал возрастания: $$x \in [-3; -1]$$
• Интервал убывания: $$x \in [-6; -3]$$
• Для функции $$f(z) = \sqrt{z+2} + 2$$ на отрезке $$(-1; 2]$$:
• Производная: $$f'(z) = \frac{1}{2\sqrt{z+2}}$$
• Функция возрастает на всем отрезке $$(-1; 2]$$.

Ответ:

• Интервал возрастания функции: $$x \in [-3; -1]$$ и $$x \in (-1; 2]$$.
• Интервал убывания функции: $$x \in [-6; -3]$$.

2. Наибольшее и наименьшее значения функции:

• Для $$f(z) = z^2 + 6z + 8$$ на $$[-6, -1]$$:
• $$f(-6) = (-6)^2 + 6(-6) + 8 = 36 - 36 + 8 = 8$$
• $$f(-3) = (-3)^2 + 6(-3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1$$
• $$f(-1) = (-1)^2 + 6(-1) + 8 = 1 - 6 + 8 = 3$$
• Для $$f(z) = \sqrt{z+2} + 2$$ на $$(-1, 2]$$:
• $$f(-1) = \sqrt{-1+2} + 2 = 1 + 2 = 3$$
• $$f(2) = \sqrt{2+2} + 2 = \sqrt{4} + 2 = 2 + 2 = 4$$

Ответ:

• Наибольшее значение функции: $$f(-6) = 8$$
• Наименьшее значение функции: $$f(-3) = -1$$

3. Интервалы знакопостоянства функции:

• $$f(z) = z^2 + 6z + 8 = (z+4)(z+2)$$
• Корни: $$z = -4$$ и $$z = -2$$
• $$f(z) > 0$$ при $$z \in [-6; -4) \cup (-2; -1]$$
• $$f(z) = \sqrt{z+2} + 2 > 0$$ всегда на $$(-1; 2]$$

Ответ:

• Функция положительна: $$x \in [-6; -4) \cup (-2; 2]$$
• Функция отрицательна: $$x \in (-4; -2)$$

4. Нули функции:

Ответ:

• $$z = -4$$
• $$z = -2$$

5. Точки пересечения графика функции с осями $$x$$ и $$y$$:

• Точки пересечения с осью $$x$$: $$(-4; 0)$$ и $$(-2; 0)$$
• Точка пересечения с осью $$y$$: $$f(0) = \sqrt{0+2} + 2 = \sqrt{2} + 2 \approx 3.41$$ => $$(0; 3.41)$$