Дано: MN = NK = 4. Найти: OK.

Решение:

В данной задаче (Рис. 4) треугольник MNK вписан в окружность. Угол MKN равен 120°. Так как MN = NK, то треугольник MNK является равнобедренным.

В равнобедренном треугольнике MNK, проведены отрезки MO и KO, где O - центр окружности. Треугольник MNK является вписанным в окружность. Угол MON = 2 * ∠NKM = 2 * (180° - 120°) = 120°. Но это не так. Угол, опирающийся на дугу MN, равен углу MKN. Центральный угол MON = 2 * ∠MNK. Так как MN = NK, то ∠MNK = ∠NKM = 120°. Это невозможно, так как сумма углов в треугольнике 180°.

Рассмотрим треугольник MNK. Угол ∠NKM = 120°. Так как MN = NK, то треугольник MNK равнобедренный. Углы при основании равны: ∠KMN = ∠KNM = (180° - 120°)/2 = 30°.

OK — радиус окружности. Треугольник ONK — равнобедренный (ON=OK=R). Угол ∠ONK = 30°. Угол ∠NOK = 180° - 2 * 30° = 120°.

Треугольник MNK вписан в окружность. По теореме синусов:

\[ \frac{MN}{\sin(\angle MKN)} = 2R \]

\[ \frac{4}{\sin(120°)} = 2R \]

\[ \frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R \]

\[ \frac{8}{\sqrt{3}} = 2R \]

\[ R = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \]

OK = R.

Ответ: OK = 4√3/3