15. Дано: прямые а и в пересекаются в точке О. Найти: АВ и ОВ₁

Рассмотрим $$\triangle$$ AOB и $$\triangle$$ A₁OB₁.

Данные треугольники подобны, так как углы при вершине О равны как вертикальные, углы при вершинах А и А₁ равны как внутренние накрест лежащие при параллельных плоскостях α и β, секущей АА₁.

Значит, стороны данных треугольников пропорциональны.

$$\frac{AO}{A_1O} = \frac{BO}{B_1O} = \frac{AB}{A_1B_1}$$.

$$\frac{5}{3} = \frac{BO}{B_1O}$$.

ОВ₁ = ОВ + ВВ₁

Пусть ОВ = х, тогда ОВ₁ = х + 4

$$\frac{5}{3} = \frac{x + 4}{x}$$.

5x = 3(x+4)

5x = 3x + 12

2x = 12

x = 6

OB = 6

OB₁ = 6 + 4 = 10

$$\frac{5}{3} = \frac{AB}{A_1B_1}$$.

$$\frac{5}{3} = \frac{AB}{6}$$.

AB = $$\frac{5 \times 6}{3} = \frac{30}{3} = 10$$.

Ответ: АВ = 10, ОВ₁ = 10