1. Дано: РЕ || NK, MP = 8, MN = 12, ME = 6 (рис. 7.55). Найти: а) МК; 6) PE : NK; в) SMPE: SMNK

а) Рассмотрим треугольники MPE и MNK. У них ∠M - общий, ∠MEP = ∠MKN как соответственные углы при PE || NK и секущей MK. Следовательно, ΔMPE ~ ΔMNK по двум углам. Тогда, $$\frac{ME}{MK} = \frac{MP}{MN}$$. Отсюда, $$\frac{6}{MK} = \frac{8}{12}$$. Следовательно, $$MK = \frac{6 \cdot 12}{8} = 9$$.

б) Т.к. ΔMPE ~ ΔMNK, то $$\frac{PE}{NK} = \frac{ME}{MK} = \frac{MP}{MN} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$$. Следовательно, PE : NK = 2 : 3.

в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, т.е. $$\frac{S_{MPE}}{S_{MNK}} = (\frac{ME}{MK})^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$$. Следовательно, SMPE : SMNK = 4 : 9.

Ответ: а) MK = 9; б) PE : NK = 2 : 3; в) SMPE : SMNK = 4 : 9