Дано: треугольник ABC - прямоугольный, AC = 5√7, BC = 3. Найти: AB, sin A, sin B, cos A, cos B.

Дано: Прямоугольный треугольник ABC, где AC = $$5\sqrt{7}$$, BC = 3. Нужно найти: AB, sin A, sin B, cos A, cos B.

Решение:

1. Найдем гипотенузу AB, используя теорему Пифагора: $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$

   Подставляем известные значения:

   $$AB^2 = (5\sqrt{7})^2 + 3^2$$

   $$AB^2 = 25 \cdot 7 + 9$$

   $$AB^2 = 175 + 9$$

   $$AB^2 = 184$$

   $$AB = \sqrt{184} = \sqrt{4 \cdot 46} = 2\sqrt{46}$$

   Итак, гипотенуза $$AB = 2\sqrt{46}$$.

2. Найдем синус угла A: $$sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{2\sqrt{46}}$$

   Избавимся от иррациональности в знаменателе: $$sin A = \frac{3\sqrt{46}}{2\cdot 46} = \frac{3\sqrt{46}}{92}$$

3. Найдем синус угла B: $$sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{5\sqrt{7}}{2\sqrt{46}}$$

   Избавимся от иррациональности в знаменателе: $$sin B = \frac{5\sqrt{7}\sqrt{46}}{2\cdot 46} = \frac{5\sqrt{322}}{92}$$

4. Найдем косинус угла A: $$cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{5\sqrt{7}}{2\sqrt{46}}$$

   Мы уже нашли это выражение для sin B, поэтому: $$cos A = \frac{5\sqrt{322}}{92}$$

5. Найдем косинус угла B: $$cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{2\sqrt{46}}$$

   Мы уже нашли это выражение для sin A, поэтому: $$cos B = \frac{3\sqrt{46}}{92}$$

Ответ:

• $$AB = 2\sqrt{46}$$
• $$sin A = \frac{3\sqrt{46}}{92}$$
• $$sin B = \frac{5\sqrt{322}}{92}$$
• $$cos A = \frac{5\sqrt{322}}{92}$$
• $$cos B = \frac{3\sqrt{46}}{92}$$