Дано: векторы а(3; 1), b(1; 2), c(2; -1). Найдите угол между векторами: 1) a и c; 2) b и a.

Для решения задачи, нам понадобятся знания из векторной алгебры, а именно: 1) Абсолютная величина (модуль) вектора $$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$$, где x и y - координаты вектора. 2) Скалярное произведение векторов $$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$$, где $$x_1, y_1$$ - координаты вектора a, a $$x_2, y_2$$ - координаты вектора b. 3) Косинус угла между векторами $$cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$. Используя эти формулы, мы сможем решить задачу. 1) Найдем угол между векторами a и c: * Вычислим абсолютные величины векторов a и c: $$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$$ $$|\vec{c}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$$ * Вычислим скалярное произведение векторов a и c: $$\vec{a} \cdot \vec{c} = (3 \times 2) + (1 \times -1) = 6 - 1 = 5$$ * Найдем косинус угла между векторами a и c: $$cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{c}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{c}|} = \frac{5}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$ * Следовательно, угол между векторами a и c равен: $$\alpha = arccos(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 45^{\circ}$$ 2) Найдем угол между векторами b и a: * Абсолютная величина вектора a уже известна: $$|\vec{a}| = \sqrt{10}$$ * Вычислим абсолютную величину вектора b: $$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$$ * Вычислим скалярное произведение векторов b и a: $$\vec{b} \cdot \vec{a} = (1 \times 3) + (2 \times 1) = 3 + 2 = 5$$ * Найдем косинус угла между векторами b и a: $$cos(\beta) = \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{b}| \cdot |\vec{a}|} = \frac{5}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$ * Следовательно, угол между векторами b и a равен: $$\beta = arccos(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 45^{\circ}$$ Ответ: 1) Угол между векторами a и c равен 45°; 2) Угол между векторами b и a равен 45°.