Дано: $$MN = KL = 3.3$$ см; $$\angle KNM = 60^\circ$$. Найти: диаметр, $$\angle MNR$$, $$\angle NKL$$.

Решение: 1. Найдем диаметр окружности: * Так как $$MN$$ является касательной к окружности в точке $$N$$, то радиус $$ON$$ перпендикулярен касательной $$MN$$. Следовательно, $$\angle O N M = 90^\circ$$. * Рассмотрим треугольник $$ONK$$. Он равнобедренный, так как $$ON = OK$$ (радиусы окружности). Значит, $$\angle O K N = \angle O N K$$. * Угол $$\angle K N M = 60^\circ$$, следовательно, $$\angle O N K = \angle O N M - \angle K N M = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$$. * Значит, и $$\angle O K N = 30^\circ$$. * В треугольнике $$ONK$$ найдем угол $$\angle N O K$$: $$\angle N O K = 180^\circ - \angle O N K - \angle O K N = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ$$. * Хорда $$KL$$ стягивает угол $$\angle N O K = 120^\circ$$. Используем теорему синусов для треугольника $$ONK$$: $$\frac{KL}{\sin \angle NOK} = 2R$$, где $$R$$ - радиус окружности. * Подставим известные значения: $$\frac{3.3}{\sin 120^\circ} = 2R$$ * $$\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ * Тогда: $$\frac{3.3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$$ $$\frac{3.3 \cdot 2}{\sqrt{3}} = 2R$$ $$\frac{6.6}{\sqrt{3}} = 2R$$ $$R = \frac{3.3}{\sqrt{3}} = \frac{3.3\sqrt{3}}{3} = 1.1\sqrt{3}$$ * Диаметр равен $$2R = 2 \cdot 1.1\sqrt{3} = 2.2\sqrt{3} \approx 3.81$$ см. 2. Найдем $$\angle MNR$$: * Так как $$ON \perp NR$$, то $$\angle O N R = 90^\circ$$. * $$\angle M N R = 90^\circ$$ (касательная перпендикулярна радиусу). 3. Найдем $$\angle NKL$$: * Угол $$\angle NKL$$ - вписанный и опирается на дугу $$NL$$. * Угол $$\angle N O L$$ - центральный и опирается на ту же дугу $$NL$$. * $$\angle N K L = \frac{1}{2} \angle N O L$$ * $$\angle N O K = 120^\circ$$. Тогда $$\angle KOL = 180^\circ - \angle NOK = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$ * $$\angle N O L = 180^\circ - \angle KOL = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$$ (так как K, O, L лежат на одной прямой, $$\angle KOL$$ и $$\angle NOL$$ - смежные). * $$\angle N K L = \frac{1}{2} \cdot (180^\circ - \angle N O K) = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$$ * Другой вариант: $$\angle N K L = \frac{1}{2} \angle N O L$$. Чтобы найти угол $$\angle N O L$$, рассмотрим четырехугольник $$ONKL$$. $$\angle ONK = 30^\circ$$, $$\angle OKL = 30^\circ$$, $$\angle ONR = 90^\circ$$, $$\angle L=180-60=120^\circ$$. * Сумма углов четырехугольника равна $$360^\circ$$. Поэтому $$\angle NOL = 360^\circ - 90^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 210^\circ -180 = 120^\circ$$. * $$\angle NKL = \frac{1}{2} \cdot \angle NOL = \frac{1}{2} \cdot (180^\circ - 120^\circ) = 30^\circ$$ Ответы: *Диаметр* $$\approx$$ 3.81 см *$$\angle MNR$$ = 90° *$$\angle NKL$$ = 30°