Даны координаты вершин пирамиды: A₁(4; 2; 5), A₂(0; 7; 2), A₃(0; 2; 7), A₄(1; 5; 0). Найти: 1) длину ребра A₁A₂; 2) угол между рёбрами A₁A₂ и A₁A₄; 3) угол между ребром A₁A₄ и гранью A₁A₂A₃; 4) площадь грани A₁A₂A₃; 5) объём пирамиды; 6) уравнения прямой A₁A₂; 7) уравнение плоскости A₁A₂A₃; 8) уравнения высоты, опущенной из вершины A₄ на грань A₁A₂A₃. Сделать чертёж.

Question

Вопрос:

Фото задания: Даны координаты вершин пирамиды: A₁(4; 2; 5), A₂(0; 7; 2), A₃(0; 2; 7), A₄(1; 5; 0). Найти: 1) длину ребра A₁A₂; 2) угол…

Даны координаты вершин пирамиды: A₁(4; 2; 5), A₂(0; 7; 2), A₃(0; 2; 7), A₄(1; 5; 0). Найти: 1) длину ребра A₁A₂; 2) угол между рёбрами A₁A₂ и A₁A₄; 3) угол между ребром A₁A₄ и гранью A₁A₂A₃; 4) площадь грани A₁A₂A₃; 5) объём пирамиды; 6) уравнения прямой A₁A₂; 7) уравнение плоскости A₁A₂A₃; 8) уравнения высоты, опущенной из вершины A₄ на грань A₁A₂A₃. Сделать чертёж.

Accepted Answer

Обозначим векторы рёбер, выходящих из A₁: \(\overrightarrow{A_1A_2}=(-4,5,-3)\), \(\overrightarrow{A_1A_3}=(-4,0,2)\), \(\overrightarrow{A_1A_4}=(-3,3,-5)\).

Длина ребра:
\(|A_1A_2|=\sqrt{(-4)^2+5^2+(-3)^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\).
Скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{A_1A_2}\) и \(\overrightarrow{A_1A_4}\) равно \(42\), а их длины — \(\sqrt{50}\) и \(\sqrt{43}\). Поэтому угол \(\varphi\) между рёбрами:
\(\cos\varphi=\dfrac{42}{\sqrt{50}\sqrt{43}}=\dfrac{42}{\sqrt{2150}}\), следовательно, \(\varphi=\arccos\dfrac{42}{\sqrt{2150}}\approx 24.9^\circ\).
Нормаль к плоскости грани найдём векторным произведением:
\(\overrightarrow{A_1A_2}\times\overrightarrow{A_1A_3}=(10,20,20)=10(1,2,2)\).
Угол \(\alpha\) между прямой \(A_1A_4\) и плоскостью удовлетворяет формуле \(\sin\alpha=\dfrac{|\overrightarrow{A_1A_4}\cdot(1,2,2)|}{|\overrightarrow{A_1A_4}|\sqrt{1^2+2^2+2^2}}\). Отсюда \(\sin\alpha=\dfrac{7}{3\sqrt{43}}\), поэтому \(\alpha=\arcsin\dfrac{7}{3\sqrt{43}}\approx 20.7^\circ\).
Площадь грани:
\(S_{A_1A_2A_3}=\dfrac12|\overrightarrow{A_1A_2}\times\overrightarrow{A_1A_3}|=\dfrac12\sqrt{10^2+20^2+20^2}=15\).
Объём пирамиды равен одной шестой модуля смешанного произведения:
\(V=\dfrac16|(-3,3,-5)\cdot(10,20,20)|=\dfrac{70}{6}=\dfrac{35}{3}\).
Прямая \(A_1A_2\) проходит через \((4,2,5)\) и имеет направляющий вектор \((-4,5,-3)\):
\(x=4-4t,\quad y=2+5t,\quad z=5-3t\).
Каноническое уравнение: \(\dfrac{x-4}{-4}=\dfrac{y-2}{5}=\dfrac{z-5}{-3}\).
Нормаль к плоскости грани пропорциональна \((1,2,2)\). Подстановка точки \(A_1\) даёт уравнение:
\((x-4)+2(y-2)+2(z-5)=0\), то есть \(x+2y+2z-18=0\).
Высота из \(A_4\) перпендикулярна грани и потому параллельна её нормали \((1,2,2)\). Уравнения высоты:
\(x=1+t,\quad y=5+2t,\quad z=2t\).
Основание высоты получается при пересечении с плоскостью грани: \(1+t+2(5+2t)+2(2t)=18\), откуда \(t=\dfrac79\). Следовательно, основание — точка \(H\left(\dfrac{16}{9};\dfrac{59}{9};\dfrac{14}{9}\right)\).

Ответ: 1) \(5\sqrt2\); 2) \(\arccos\dfrac{42}{\sqrt{2150}}\approx24.9^\circ\); 3) \(\arcsin\dfrac{7}{3\sqrt{43}}\approx20.7^\circ\); 4) \(15\); 5) \(\dfrac{35}{3}\); 6) \(\dfrac{x-4}{-4}=\dfrac{y-2}{5}=\dfrac{z-5}{-3}\); 7) \(x+2y+2z-18=0\); 8) \(x=1+t,\ y=5+2t,\ z=2t\).