640 Даны окружность с центром O радиуса 4,5 см и точка A. Через точку A проведены две касательные к окружности. Найдите угол между ними, если OA = 9 см.

Давайте решим эту задачу по геометрии. **1. Понимание задачи:** У нас есть окружность с центром в точке O и радиусом 4,5 см. Из внешней точки A проведены две касательные к этой окружности. Расстояние от точки A до центра окружности O равно 9 см. Наша задача - найти угол между этими двумя касательными. **2. Рисунок:** Представим себе окружность с центром O. Нарисуем две касательные из точки A к окружности, обозначим точки касания B и C. Получим два прямоугольных треугольника: \(\triangle OBA\) и \(\triangle OCA\), где углы \(\angle OBA\) и \(\angle OCA\) прямые (так как касательная перпендикулярна радиусу в точке касания). **3. Решение:** * Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle OBA\). * Известно: \(OB = 4.5\) см (радиус), \(OA = 9\) см. * Синус угла \(\angle OAB\) равен отношению противолежащего катета (OB) к гипотенузе (OA): \(\sin(\angle OAB) = \frac{OB}{OA} = \frac{4.5}{9} = \frac{1}{2}\) * Угол, синус которого равен \(\frac{1}{2}\), это 30 градусов. Значит, \(\angle OAB = 30^{\circ}\). * Теперь рассмотрим четырехугольник OBAC. Сумма углов в четырехугольнике равна 360 градусов. Мы знаем, что \(\angle OBA = 90^{\circ}\) и \(\angle OCA = 90^{\circ}\). Также мы нашли \(\angle OAB = 30^{\circ}\). Угол \(\angle OAC\) тоже равен 30 градусам, потому что \(\triangle OBA\) и \(\triangle OCA\) равны (по катету и гипотенузе). * Таким образом, угол \(\angle BAC\) между касательными равен: \(\angle BAC = \angle OAB + \angle OAC = 30^{\circ} + 30^{\circ} = 60^{\circ}\). **4. Ответ:** Угол между касательными равен **60 градусов**.