Даны равнобедренный прямоугольный треугольник $$KLC$$ с прямым углом $$C$$, катетом $$KC = 10$$ см и квадрат $$CDEF$$, такой, что две его стороны лежат на катетах, а вершина $$E$$ - на гипотенузе треугольника. Найдите периметр квадрата. $$P_{CDEF} = ?$$

Обозначим сторону квадрата $$CDEF$$ как $$x$$. Так как треугольник $$KLC$$ равнобедренный и прямоугольный, то $$LC = KC = 10$$ см.

Рассмотрим треугольник $$KDE$$. Он подобен треугольнику $$KLC$$ (так как углы $$KDE$$ и $$KLC$$ прямые, и угол $$K$$ общий). Тогда, $$rac{KD}{KC} = rac{DE}{LC}$$

Имеем $$KD = KC - CD = 10 - x$$. Подставляем известные значения в отношение подобия: $$rac{10-x}{10} = rac{x}{10}$$

Умножаем обе части уравнения на 10: $$10 - x = x$$

Переносим $$x$$ в правую часть: $$10 = 2x$$

Делим обе части на 2: $$x = 5$$

Сторона квадрата $$CDEF$$ равна 5 см.

Периметр квадрата вычисляется по формуле $$P = 4x$$.

Тогда, периметр квадрата $$CDEF$$ равен: $$P_{CDEF} = 4 cdot 5 = 20 ext{ см}$$

Ответ: $$P_{CDEF} = 20$$ см.