Даны равносторонние треугольники АВС и А1В1С1 точки О и 01 — точки пересечения высот этих треугольников, причем ОА= 01A1. Докажите, что треугольники АВС и А1В1С1 равны.

Решение:

В равностороннем треугольнике точка пересечения высот (ортоцентр) совпадает с центром описанной и вписанной окружности (центроид).

Таким образом, \( O \) — центр описанной окружности \( \triangle ABC \), а \( O_1 \) — центр описанной окружности \( \triangle A_1B_1C_1 \).

Радиус описанной окружности \( R \) равностороннего треугольника со стороной \( a \) вычисляется по формуле: \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \).

В равностороннем треугольнике \( OA \) — это радиус описанной окружности \( R \), проведенный к вершине \( A \).

По условию \( OA = O_1A_1 \). Это означает, что радиусы описанных окружностей равны: \( R = R_1 \).

Так как \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \) и \( R_1 = \frac{a_1}{\sqrt{3}} \), где \( a \) — сторона \( \triangle ABC \) и \( a_1 \) — сторона \( \triangle A_1B_1C_1 \).

Из равенства радиусов \( R = R_1 \) следует:

\( \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a_1}{\sqrt{3}} \) \(\, \Rightarrow \, \) \( a = a_1 \).

Поскольку \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \) равносторонние, и их стороны равны \( a = a_1 \), то они равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Что и требовалось доказать.