На высоте АН равнобедренного треугольника с углом А=90 взята точка О. Докажите, что треугольники ВОН и НОС равны.

Решение:

В равнобедренном треугольнике АВС с углом А=90°, АН является высотой. Поскольку треугольник равнобедренный, высота АН также является медианой и биссектрисой. Следовательно, точка Н является серединой основания ВС.

Рассмотрим треугольники ВОН и НОС:

• ВО = НО (по условию, точка О взята на высоте АН, и треугольник АВС равнобедренный, поэтому АН - ось симметрии, если рассматривать треугольник относительно этой оси, то точки B и C симметричны, значит BO = CO).
• ВО = СО (по условию, точка О взята на высоте АН, и треугольник АВС равнобедренный, поэтому АН - ось симметрии, если рассматривать треугольник относительно этой оси, то точки B и C симметричны, значит BO = CO).
• Угол ВОН = Угол НОС (вертикальные углы, так как АН и ВС пересекаются в точке О).

Мы не можем доказать равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними, так как углы ВОН и НОС не связаны с условием, что АН — высота. Но мы знаем, что АН — высота, значит, угол АНВ = 90 градусов. Если О лежит на АН, то и угол ВНО = 90 градусов.

Поскольку АН является медианой, то ВН = НС.

Теперь рассмотрим треугольники ВОН и НОС:

• ВН = НС (Н - середина ВС).
• Угол ВНО = Угол СНО = 90° (АН - высота).
• НО - общая сторона.

По двум сторонам и углу между ними (признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними), треугольники ВОН и НОС равны (по второму признаку равенства треугольников).

Что и требовалось доказать.