Даны точки А (3;-2), В (1;-1) и С(-1; 1). Найдите: 1) координаты векторов BA и BC; 2) модули векторов BA и BC; 3) координаты вектора MP = 4BA - BC; 4) скалярное произведение векторов BA и BC; 5) косинус угла между векторами BA и BC.

Ответ:

1) Координаты векторов BA и BC:

• BA = (3-1; -2-(-1)) = (2; -1)
• BC = (-1-1; 1-(-1)) = (-2; 2)

2) Модули векторов BA и BC:

• $$|BA| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$$
• $$|BC| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$

3) Координаты вектора MP = 4BA - BC:

• 4BA = 4(2; -1) = (8; -4)
• MP = (8; -4) - (-2; 2) = (8+2; -4-2) = (10; -6)

4) Скалярное произведение векторов BA и BC:

• BA · BC = (2 \cdot -2) + (-1 \cdot 2) = -4 - 2 = -6

5) Косинус угла между векторами BA и BC:

• $$cos(\alpha) = \frac{BA \cdot BC}{|BA| \cdot |BC|} = \frac{-6}{\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{-6}{2\sqrt{10}} = \frac{-3}{\sqrt{10}} = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$$