Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика1. Даны точки М(-6; 3) и Р(8;-7). Найдите длину отрезка МР и координаты его середины. 2. Точка Н(-3; 6) принадлежит окружности, а точка К(–9;2) – центр этой окружности. Составьте уравнение окружности и постройте ее. 3. Найдите координаты точки, принадлежащей оси ординат и равноудалённой от точек N (-5; 12) и S (4; −3). 4. В равнобедренном треугольнике основание равно 12 , а высота проведенная к основанию равна 8, найдите медиану, поведенную к боковой стороне.
Ответ:
-
1. Даны точки М(-6; 3) и Р(8;-7). Найдите длину отрезка МР и координаты его середины.
Длина отрезка MP вычисляется по формуле:
$$MP = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$Подставляем координаты точек M и P:
$$MP = \sqrt{(8 - (-6))^2 + (-7 - 3)^2} = \sqrt{(14)^2 + (-10)^2} = \sqrt{196 + 100} = \sqrt{296}$$$$MP = \sqrt{4 \cdot 74} = 2\sqrt{74}$$ Координаты середины отрезка MP вычисляются по формулам:
$$x_{mid} = \frac{x_1 + x_2}{2}, y_{mid} = \frac{y_1 + y_2}{2}$$Подставляем координаты точек M и P:
$$x_{mid} = \frac{-6 + 8}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ $$y_{mid} = \frac{3 + (-7)}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$Ответ: Длина отрезка MP равна $$2\sqrt{74}$$, координаты середины отрезка MP: (1; -2).
-
2. Точка Н(-3; 6) принадлежит окружности, а точка К(–9;2) – центр этой окружности. Составьте уравнение окружности и постройте ее.
Уравнение окружности с центром в точке (a, b) и радиусом R имеет вид:
$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$$В нашем случае центр окружности K имеет координаты (-9, 2), то есть a = -9, b = 2.
Радиус R можно найти как расстояние от центра K до точки H, лежащей на окружности:
$$R = \sqrt{(x_H - x_K)^2 + (y_H - y_K)^2}$$ $$R = \sqrt{(-3 - (-9))^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{(6)^2 + (4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52}$$Тогда уравнение окружности:
$$(x + 9)^2 + (y - 2)^2 = 52$$Для построения окружности потребуется график, сгенерированный с использованием библиотеки Chart.js.
Ответ: Уравнение окружности: $$(x + 9)^2 + (y - 2)^2 = 52$$. График окружности представлен выше.
-
3. Найдите координаты точки, принадлежащей оси ординат и равноудалённой от точек N (-5; 12) и S (4; −3).
Точка, принадлежащая оси ординат, имеет координаты (0, y).
Расстояние от точки (0, y) до точки N (-5, 12) равно расстоянию от точки (0, y) до точки S (4, -3). Запишем это в виде уравнения:
$$\sqrt{(-5 - 0)^2 + (12 - y)^2} = \sqrt{(4 - 0)^2 + (-3 - y)^2}$$Возведём обе части уравнения в квадрат:
$$(-5)^2 + (12 - y)^2 = (4)^2 + (-3 - y)^2$$ $$25 + 144 - 24y + y^2 = 16 + 9 + 6y + y^2$$ $$169 - 24y = 25 + 6y$$ $$144 = 30y$$ $$y = \frac{144}{30} = \frac{24}{5} = 4.8$$Ответ: Координаты точки (0; 4.8).
-
4. В равнобедренном треугольнике основание равно 12 , а высота проведенная к основанию равна 8, найдите медиану, поведенную к боковой стороне.
Пусть дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC = 12 и высотой BD = 8.
Нам нужно найти медиану, проведенную к боковой стороне, например, к стороне AB. Пусть это медиана AE.
1. Найдем боковую сторону AB. Треугольник ABD - прямоугольный. AD = AC/2 = 12/2 = 6. По теореме Пифагора:
$$AB = \sqrt{AD^2 + BD^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$2. Пусть E - середина стороны BC. Тогда BE = EC = BC/2.
Так как треугольник ABC равнобедренный, то BC = AB = 10.
Тогда BE = EC = 10/2 = 5.
3. Рассмотрим треугольник ABE. В нем известны стороны AB = 10, BE = 5 и угол B, косинус которого можно найти из треугольника ABD:
$$cos(B) = \frac{BD}{AB} = \frac{8}{10} = 0.8$$4. Теперь можем найти медиану AE, используя теорему косинусов для треугольника ABE:
$$AE^2 = AB^2 + BE^2 - 2 \cdot AB \cdot BE \cdot cos(B)$$ $$AE^2 = 10^2 + 5^2 - 2 \cdot 10 \cdot 5 \cdot 0.8$$ $$AE^2 = 100 + 25 - 80 = 45$$ $$AE = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$$Ответ: Длина медианы, проведенной к боковой стороне, равна $$3\sqrt{5}$$.
Похожие
