Даны три вектора. Найти: линейно зависимы или линейно независимы вектора a, b и c. a = {3;-2;1}, b = {3;-1;2}, c = {-3;-1;-4}. Выберите один ответ: a. зависимы; b. не зависимы

Для определения линейной зависимости или независимости векторов a, b и c, необходимо проверить, можно ли выразить один из векторов через линейную комбинацию других. Рассмотрим уравнение: $\alpha a + \beta b + \gamma c = 0$, где $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ – скаляры. Если единственное решение этого уравнения $\alpha = \beta = \gamma = 0$, то векторы линейно независимы. Если существуют нетривиальные решения (хотя бы один из скаляров не равен нулю), то векторы линейно зависимы. В нашем случае, уравнение выглядит так: $\alpha(3, -2, 1) + \beta(3, -1, 2) + \gamma(-3, -1, -4) = (0, 0, 0)$ Это приводит к системе линейных уравнений: 1) $3\alpha + 3\beta - 3\gamma = 0$ 2) $-2\alpha - \beta - \gamma = 0$ 3) $\alpha + 2\beta - 4\gamma = 0$ Упростим первое уравнение, разделив обе части на 3: 1) $\alpha + \beta - \gamma = 0$ Выразим $\alpha$ из первого уравнения: $\alpha = \gamma - \beta$. Подставим это выражение во второе и третье уравнения: 2) $-2(\gamma - \beta) - \beta - \gamma = 0 \Rightarrow -2\gamma + 2\beta - \beta - \gamma = 0 \Rightarrow \beta - 3\gamma = 0$ 3) $(\gamma - \beta) + 2\beta - 4\gamma = 0 \Rightarrow \beta - 3\gamma = 0$ Из уравнений 2 и 3 получаем, что $\beta = 3\gamma$. Теперь выразим $\alpha$ через $\gamma$: $\alpha = \gamma - \beta = \gamma - 3\gamma = -2\gamma$ Итак, мы нашли решение в виде: $\alpha = -2\gamma$, $\beta = 3\gamma$. Поскольку существуют нетривиальные решения (например, $\gamma = 1$, $\alpha = -2$, $\beta = 3$), векторы a, b и c линейно зависимы. **Ответ: a. зависимы**