Решение задач

1. Определим тип угла между векторами $$\vec{a}(-2; 1; 3)$$ и $$\vec{b}(4; 0; 3)$$.

   Найдем скалярное произведение векторов:$$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-2) \cdot 4 + 1 \cdot 0 + 3 \cdot 3 = -8 + 0 + 9 = 1$$

   Найдем модули векторов:$$|\vec{a}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}$$$$|\vec{b}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 0 + 9} = \sqrt{25} = 5$$

   Найдем косинус угла между векторами:$$\cos(\varphi) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{1}{\sqrt{14} \cdot 5} = \frac{1}{5\sqrt{14}} > 0$$

   Так как косинус угла положительный, то угол острый.

   Ответ: угол острый.

2. Дано: $$|\vec{a}|=\sqrt{2}$$, $$|\vec{b}|=\sqrt{2}$$ и $$\vec{a} \cdot \vec{b} = -\sqrt{3}$$.

   Найдем угол между векторами:$$\cos(\varphi) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{-\sqrt{3}}{2}$$

   $$\varphi = \arccos(\frac{-\sqrt{3}}{2}) = \frac{5\pi}{6} = 150^\circ$$

   Ответ: угол равен $$150^\circ$$.

3. Дан куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ с ребром, равным 2.

   а) Найдем координаты точек $$D, D_1, A, B$$ и $$M$$, где $$M$$ - середина ребра $$DD_1$$.

   Введем систему координат с началом в точке $$A$$ и осями, направленными по ребрам $$AB$$, $$AD$$ и $$AA_1$$.

   Тогда координаты точек:

   • $$A(0; 0; 0)$$
   • $$B(2; 0; 0)$$
   • $$D(0; 2; 0)$$
   • $$D_1(0; 2; 2)$$
   • $$M(0; 2; 1)$$ (середина ребра $$DD_1$$)

   б) Найдем координаты векторов $$\vec{DD_1}$$ и $$\vec{AB}$$.

   Координаты векторов:

   • $$\vec{DD_1} = (0 - 0; 2 - 2; 2 - 0) = (0; 0; 2)$$
   • $$\vec{AB} = (2 - 0; 0 - 0; 0 - 0) = (2; 0; 0)$$

   в) Найдем угол между прямыми $$AD_1$$ и $$BM$$, где $$M$$ - середина ребра $$DD_1$$.

   Координаты векторов:

   • $$\vec{AD_1} = (0 - 0; 2 - 0; 2 - 0) = (0; 2; 2)$$
   • $$\vec{BM} = (0 - 2; 2 - 0; 1 - 0) = (-2; 2; 1)$$

   Найдем косинус угла между векторами:$$\cos(\varphi) = \frac{\vec{AD_1} \cdot \vec{BM}}{|\vec{AD_1}| \cdot |\vec{BM}|} = \frac{0 \cdot (-2) + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 1}{\sqrt{0^2 + 2^2 + 2^2} \cdot \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 1^2}} = \frac{0 + 4 + 2}{\sqrt{8} \cdot \sqrt{9}} = \frac{6}{3\sqrt{8}} = \frac{2}{\sqrt{8}} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

   $$\varphi = \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4} = 45^\circ$$

   Ответ: угол равен $$45^\circ$$.