Даны векторы a = (2, -1, 3) и b = (4, 0, -2). Найдите: a) Длину вектора а; б) Скалярное произведение а и b; в) Угол между векторами.

Решим данную задачу пошагово.

1. а) Длина вектора a

   Длина вектора $$a = (x, y, z)$$ вычисляется по формуле:

   $$|a| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$

   В нашем случае, $$a = (2, -1, 3)$$, поэтому:

   $$|a| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}$$

   Ответ: Длина вектора a равна $$\sqrt{14}$$.

2. б) Скалярное произведение a и b

   Скалярное произведение двух векторов $$a = (x_1, y_1, z_1)$$ и $$b = (x_2, y_2, z_2)$$ вычисляется по формуле:

   $$a \cdot b = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$$

   В нашем случае, $$a = (2, -1, 3)$$ и $$b = (4, 0, -2)$$, поэтому:

   $$a \cdot b = (2 \cdot 4) + (-1 \cdot 0) + (3 \cdot (-2)) = 8 + 0 - 6 = 2$$

   Ответ: Скалярное произведение векторов a и b равно 2.

3. в) Угол между векторами

   Угол $$\theta$$ между двумя векторами a и b можно найти, используя скалярное произведение и длины векторов:

   $$cos(\theta) = \frac{a \cdot b}{|a| \cdot |b|}$$

   Мы уже знаем, что $$a \cdot b = 2$$ и $$|a| = \sqrt{14}$$. Теперь найдем длину вектора b:

   $$|b| = \sqrt{4^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 0 + 4} = \sqrt{20}$$

   Подставим значения в формулу для косинуса угла:

   $$cos(\theta) = \frac{2}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{20}} = \frac{2}{\sqrt{280}} = \frac{2}{2\sqrt{70}} = \frac{1}{\sqrt{70}}$$

   Теперь найдем угол $$\theta$$, взяв арккосинус:

   $$\theta = arccos(\frac{1}{\sqrt{70}})$$

   Ответ: Угол между векторами равен $$arccos(\frac{1}{\sqrt{70}})$$.