Даны векторы \( \vec{a} = (2; -1; 3) \) и \( \vec{b} = (1; 3; -2) \). Найдите косинус угла между векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \).

Решение:

Для нахождения косинуса угла между векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) воспользуемся формулой:

\[ \cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \]

1. Найдём скалярное произведение векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \):
   \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = (2 \cdot 1) + (-1 \cdot 3) + (3 \cdot -2) = 2 - 3 - 6 = -7 \]
2. Найдём длину вектора \( \vec{a} \):
   \[ |\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14} \]
3. Найдём длину вектора \( \vec{b} \):
   \[ |\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14} \]
4. Вычислим косинус угла между векторами:
   \[ \cos(\alpha) = \frac{-7}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}} = \frac{-7}{14} = -\frac{1}{2} \]

Ответ: \( -\frac{1}{2} \).